在招标投标过程中，废掉中标第一名的单位可以通过以下几种方式进行：
在公示期内提出质疑：如果在公示期内对排名第一的中标候选人没有进行投诉或者投诉不成功，可以在公示期结束后以建设单位的身份对中标排名第一的单位提出其他方面的质疑。这些质疑可以结合第一中标候选人有无不良记录等信息来确定其是否应该废标。１２
法律依据：根据《中华人民共和国政府采购法》和其他相关法律规定，如果出现特定情况，如投标文件不符合规定、投标人名称或组织结构与资格预审时不一致、未按招标文件要求提交投标保证金等，可以废除中标。
放弃中标的情况：如果排名第一的中标候选人放弃中标，招标人可以按照评标委员会提出的中标候选人名单排序依次确定其他中标候选人为中标人，或者重新招标。３４
这些措施确保了招标过程的公平性和合法性，同时也为招标人提供了在特定情况下调整中标人的法律途径。